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Raidou
Fan
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 Posted - 07/07/2006 : 09:29:51
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Basta non ne posso più, non è possibile, mi rifiuto di crederci. 2 VOLTE. E dico 2 VOLTE. No, non è giusto. A cosa mi riferisco? Al fatto che per la seconda volta consecutiva sono stato buttato fuori all’orale di analisi 1 dopo aver superato per 2 volte lo scritto. Non ci credo nemmeno io. Superare una volta quello scritto è un’impresa di cui essere fieri, riuscirci 2 volte è un miracolo, ma essere buttati fuori all’orale entrambe le volte con le stesse 2 domande è follia. La cosa assurda è che ho controllato sul libro le risposte ed erano giuste. Ma cosa c$%&/o sta succedendo? Il mondo inizia a girare al contrario? Oddio, questa storia mi fa dare di matto, non ne posso più, sono più di un mese che studio matematica, e ora inizio anche a sognarmela la notte. E’ vero che se il primo appello l’ho passato grazie all’efficace metodo suggeritomi da Domle (ossia copia tutto ciò che puoi), è anche vero che per il secondo appello avevo studiato. Ma ora veramente, sono disperato, non riesco a capire come si faccia a buttar fuori uno che risponde in modo corretto alle domande. Ed è per questo che ho bisogno del tuo aiuto, Pierrè, mi puoi dire cosa c’è che non va nelle seguenti 2 domande e risposte?
La prima domanda che mi hanno fatto era: “ci enunci il teorema di Lagrange”. Io ho risposto: “se f è una funzione derivabile su un intervallo, allora c’è un punto x nell’intervallo per cui la differenza tra i valori della funzione agli estremi dell’intervallo divisa per la lunghezza dell’intervallo è uguale alla derivata di f in x”. A questo punto (in ENTRAMBI gli esami) il professore scosse la testa e disse “passiamo ad un'altra domanda”
Ovvero la seguente: “mi dia la definizione di funzione crescente”. A quel punto ho risposto: “una funzione crescente è una funzione con derivata positiva”.
E fu così che per ben 2 VOLTE, con le STESSE domande sono stato buttato fuori. Ora io dico, ho controllato nel libro, ho consultato alcuni miei compagni, e non ho trovato alcun errore, per cui come ultima verifica prima di impugnare una mazza chiodata o un’ascia doppia vorrei chiederti: c’è davvero qualcosa che non va in quelle risposte oppure questi tizi vogliono solo rompermi i *%&£$£*.
P.s.: mi scuso per aver usato un forum per una questione personale, ho cercato prima di contattare Pierrè ma non ci sono riuscito, senza contare poi che si potrebbe usare questo topic come sezione (dall’indiscutibile utilità) per chiedere aiuto a Pierrè sui problemi di matematica!! (plesae, no ban).
They say: what you don't have you don't miss. So tell me, why I miss you girl? |
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Domle
Fan
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Posted - 07/07/2006 : 11:24:32
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Se nella seconda posso essere d'accordo con te, nella prima ho qualche dubbio pure io. Teorema di Lagrange, da wikipedia
Il teorema di Lagrange (o del valor medio) afferma che se una funzione reale di variabile reale è continua in un intervallo [a; b] e derivabile in ]a; b[, esiste almeno un punto interno all'intervallo in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta che congiunge i punti del grafico corrispondenti agli estremi dell'intervallo [a;b].
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Di lui al saluto con Lene ricordo distintamente anch'io il "Come here!" e il tendere le braccia di Lene.
Domle stava proprio a fianco a me; mi sono sorpreso x un attimo,
perche' Domle e' stato l'unico ad essere stato "riconosciuto", ma come dimenticare l'onnipresente tifoso del TIL?
-----Aker brygge, sarai per sempre la mia neste stopp... ----- |
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Pegasus_TDCi
Staff
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Posted - 07/07/2006 : 12:16:23
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Io la sapevo così:
Supp: f è una funzione continua in un dominio I e f(x)>f(y) per ogni x>y
Allora: f è una funzione crescente in I.
Se ci pensi, se una funzione è derivabile e ha derivata positiva, allora è crescente, ma se una funzione è crescente non è detto che sia anche derivabile...
Can you hear me, my love? I'm shouting in the wind... |
Edited by - Pegasus_TDCi on 07/07/2006 12:20:17 |
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Domle
Fan
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Posted - 07/07/2006 : 12:25:00
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Vero, non è detto il contrario
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Di lui al saluto con Lene ricordo distintamente anch'io il "Come here!" e il tendere le braccia di Lene.
Domle stava proprio a fianco a me; mi sono sorpreso x un attimo,
perche' Domle e' stato l'unico ad essere stato "riconosciuto", ma come dimenticare l'onnipresente tifoso del TIL?
-----Aker brygge, sarai per sempre la mia neste stopp... ----- |
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riccardino
Fan
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Posted - 07/07/2006 : 12:28:18
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Raidou, sono passati diversi anni da quando studiavo questi argomenti, per cui, a differenza di Domle e Pega che mi paiono ferratissimi, non posso dare risposte tecniche perchè non ricordo più nulla. Ti scrivo solo per dirti che pur non conoscendoti personalmente mi dispiace da morire che hai patito questa disavventura. Spero che quando avrai modo di affrontare il terzo tentativo, dopo magari un pò di riposo, tu possa farcela e riacquistare serenità. In bocca al lupo di vero cuore. |
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koletz
Fan
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Posted - 07/07/2006 : 12:41:42
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Io il teorema di Lagrange lo sapevo esattamente com'è riportato su Wikipedia, in più con la formula per trovare f'(c).
Per quanto riguarda la crescenza sono d'accordo con Pega!
  
vota lene |
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Grendeel
Fan
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Posted - 07/07/2006 : 12:53:44
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Per me ste cose sono arabo, quindi dal punto di vista della materia non saprei che dirti....la crescenza per me è un formaggio! 
Cmq Raidou mi dispiace per sta cosa ma purtroppo succede...
Io lunedì faccio per la seconda volta un esame di geografia linguistica perchè il professore corregge gli scritti a seconda di come si alza la mattina ...è riuscito a mettere lo stesso voto a due compiti con risultati diversi...
Bisogna solo armarsi di tanta tanta pazienza e riprovarci
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Raidou
Fan
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Posted - 10/07/2006 : 11:20:04
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quote:
Originally posted by Grendeel
Per me ste cose sono arabo, quindi dal punto di vista della materia non saprei che dirti....la crescenza per me è un formaggio!
Cmq Raidou mi dispiace per sta cosa ma purtroppo succede...
Io lunedì faccio per la seconda volta un esame di geografia linguistica perchè il professore corregge gli scritti a seconda di come si alza la mattina...è riuscito a mettere lo stesso voto a due compiti con risultati diversi...
Bisogna solo armarsi di tanta tanta pazienza e riprovarci
Grzie per il consiglio/incoraggiamento,in effetti penso di avere ancora molto da imparare su come funziona l'universita' . Comunque di auguro buona fortuna per l'esame
Tornando al discorso, riguardo la questione delle funzioni crescenti Pega, non so se tu abbia ragione o meno, io nel libro leggo "...quindi una funzione crescente e' una funzione con derivata positiva...", boh non so.
Riguardo Lagrange (che lo vedano morto!!  ), non capisco ancora cosa ho sbagliato, in fondo ho detto in formule cio' che Domle dice in modo grafico, e poi, una funzione derivabile non e' continua? Allora perche' una volta che chiediamo la derivabilita' dobbiamo chiedere la continuita'?
They say: what you don't have you don't miss. So tell me, why I miss you girl? |
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Pierre De Fermat
Fan
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Posted - 10/07/2006 : 17:30:06
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Ohi, ohi, ci sono così tante precisazioni da fare che non so nemmeno da dove cominciare. Cerchiamo di procedere con ordine, innanzitutto le cose importanti: la questione del nome. Sul titolo del topic scrivi “per Fermat”, devo però puntualizzare che se vuoi chiamarmi per cognome dovresti scrivere “De Fermat” mentre se vuoi usare il nome dovresti scrivere “Pierrè”. E’ infatti vero che inizialmente il cognome del matematico francese era Fermat, ma poi grazie alla posizione sociale che andò ad occupare, acquisì il diritto di usare il prefisso nobiliare De, per cui il suo cognome mutò in De Fermat.
Bene, ed ora passiamo al resto. Devo dire che tutto ciò che avete scritto è sbagliato, o comunque impreciso. Ma cominciamo con ordine:
Teorema di Lagrange: l’enunciato esatto è: “sia f una funzione definita e continua su un intervallo [a,b] limitato e non degenere, e sia f derivabile su (a,b). Allora esiste x appartenente ad (a,b) tale che (f(b)-f(a))/(b-a) = f’(x) dove f’(x) è la derivata di f in x”.
Ora ciò che tu scrivi Raidou, è piuttosto impreciso, quando scrivi “su un intervallo” non dici se lo prendi aperto, chiuso o cos’altro, mentre bisogna specificare se e quali estremi sono inclusi. Ti faccio notare che se per intervallo intendevi l’intervallo aperto (a,b) (cioè senza estremi), l’enunciato è banalmente falso, infatti la funzione f potrebbe non essere nemmeno definita agli estremi (e in tali punti potrebbe non essere neanche estendibile come funzione di Lebesque), ma anche nel caso in cui f fosse definita hai subito un contro-esempio: f da [0,1] in R così definita: f(x)=0 se x appartiene a [0,1), e f(1)=1. Questo ti da un contro-esempio anche per i casi in cui consideri intervalli con un solo estremo. Se poi per intervallo consideri l’intervallo chiuso, allora ciò che affermi è vero, ma le ipotesi sono eccessive. Capita infatti molto spesso di lavorare con funzioni di classe C^k (o C-infinito) a tratti (ad esempio i poligoni curvilinei), e li è ESSENZIALE che non si richieda la derivabilità negli estremi. Altra questione: se l’intervallo è degenere, ossia a=b, il denominatore b-a è 0, per cui la formula non ha nemmeno senso (a meno di non considerare la compattificazione di Alexandroff di R, su cui comunque NON vale il teorema di Lagrange). Altre precisazioni: quando dici: “una funzione è derivabile” dovresti aggiungere “in senso classico”, ciò che scrivi non è affatto chiaro (esistono diverse derivate: deboli, integrali, distribuzionali, ecc…) e se ad esempio per derivabile intendi derivabile in senso integrale, il teorema è falso, banalmente perché non tutte le funzioni derivabili in senso integrale sono continue (mentre è vero che se le in un punto esistono FINITE le quattro derivate del Dini e sono uguali, allora la funzione è continua in tal punto). Ultima cosa: “c’è un punto” non è una dizione matematica, quando si enuncia un teorema bisogna essere rigorosi, la forma corretta è: “esiste x, x appartiene ad…”. Bene passiamo ora a dire perché le altre proposte dei (presunti) teoremi di Lagrange non vanno bene: per prima cosa anche voi siete stati imprecisi su alcune cose (vedi sopra), e poi parlare di tangenti e cose del genere non è molto rigoroso, a meno che non fate le dovute precisazioni. Infatti se per tangente si intende la tangente in misura (secondo H^1, ovvero la misura 1-dimensionale di Hausdorff), l’enunciato è falso in modo banale (perché in tal caso la tangente è definita a meno di un insieme di misura H^1 nulla, mentre il teorema da un enunciato PUNTUALE), ed anche se per tangente si intende “quella classica”, il tutto rimane comunque poco preciso per il seguente motivo: quando si identifica la tangente in un punto (o meglio, lo spazio tangente) ad una varietà immersa di dimensione 1 (di classe c^1 in questo caso), si sta implicitamente identificando una fibra del fibrato tangente con R, usando l’isomorfismo canonico. Se però si cambia l’isomorfismo (il che non lede nulla dell’enunciato del teorema in questione), cambia anche l’identificazione, e l’enunciato risulta falso. Il teorema di Lagrange ha un enunciato ben preciso che non parla di tangenti o cose simili. Se poi ne vogliamo dare un’interpretazione geometrica, allora quella è un’altra questione. Lasciate perdere enciclopedie e cose simili, li si cerca di spiegare il significato delle cose, e non di descriverle in modo rigoroso.
Bene, ed ora passiamo alla questione delle funzioni crescenti:
La definizione che proponi mi ha fatto venire un brivido per la schiena, però devo dire che anche la definizione di Pegasus non è corretta, infatti (modulo le “solite” imprecisioni) quella è la definizione di funzione strettamente crescente, a meno che non usiate la notazione con non-crescente e non-decrescente, notazione cara soprattutto ai fisici e agli ingegneri, ma scartata a priori da noi matematici. Anche in questo caso però ciò che scrive Pegasus non è corretto, infatti non è vero che una funzione derivabile è strettamente crescente se e solo se la sua derivata è (strettamente) positiva.
La definizione di funzione reale crescente è: “sia f una funzione definita su un sottoinsieme di R a valori reali, allora f si dice crescente se per ogni x,y con x e y appartenenti al dominio di f, x<y implica f(x)<f(y) o f(x)=f(y)” (scusate, viene male scrivere <= per minore o uguale).
Le caratterizzazioni esatte sono le seguenti: sia f una funzione derivabile definita su un intervallo aperto (a,b) (anche non limitato), allora:
1) f è crescente se e solo se la sua derivata è positiva (maggiore o uguale a 0).
2) f è strettamente crescente se e solo se l’insieme degli zeri di f’ (la derivata classica di f) è a parte interna vuota, ossia per ogni intervallo (c,d) incluso in (a,b), f’ non è identicamente nulla su (c,d).
Entrambe le caratterizzazioni sono piuttosto semplici da dimostrare, te le lascio come (banale ma utile) esercizio.
Ora chiariamo una cosa: in un esame per matematici la prima risposta è gia abbastanza per esser buttati fuori, anche avendo 30 allo scritto, però visto che sei un (aspirante) ingegnere, le cose stanno diversamente. A voi non è richiesto un grande rigore negli enunciati e nelle dimostrazioni, per cui puoi sorvolare tutta la questione sui vari tipi di derivate, sugli intervalli degeneri e sulle tangenti. Però comunque il modo in cui tu enunci il teorema è sbagliato (vedi la questione degli estremi degli intervalli). C’è da dire che se per intervallo intendevi l’intervallo chiuso, l’errore a mio avviso non era tale da giustificare il “buttato fuori” (ripeto, in un esame per ingegneri). Io stesso nel mese di giugno facendo (ahimè) gli esami di Analisi Matematica 1 per gli ingegneri e Istituzioni di Matematica per i biologi ho incontrato veramente pochi allievi che enunciavano i teoremi in modo preciso (per carità, non parliamo delle dimostrazioni), però c’è da tenere conto che gli obbiettivi di un corso di matematica per ingegneri (o biologi) e matematici sono radicalmente differenti, anche se i corsi sono pressoché uguali per cui mi sono moderato parecchio, insomma non mi sono neanche sognato di buttare fuori uno solo perché chiamava “funzione logaritmo” la restrizione della funzione logaritmo all’intervallo (0,1), mentre se una cosa del genere la dice un matematico, il suo esame finisce li, perché un matematico non può ignorare il fatto che definire una funzione significa dire chi è il suo dominio (la stessa formula può definire funzioni diverse), mentre per un non-matematico ciò non è così importante.
Passiamo ora alla questione parecchio spinosa delle funzioni crescenti. Faccio una premessa: prima di impugnare strane armi da guerra, leggi FINO ALLA FINE.
Per funzioni reali dire che una funzione è crescente e dire che ha derivata positiva sono cose equivalenti, per cui ognuna delle 2 potrebbe essere presa come definizione. MA, c’è un ma, con derivata non intendo la derivata classica, infatti non tutte le funzioni crescenti sono derivabili in senso classico (possono anche essere discontinue come osserva Pegasus). Notando che il caso in cui una funzione sia definita su un insieme a parte interna vuota è banale, e che ogni aperto in R è unione (al più) numerabile di intervalli aperti disgiunti, possiamo restringerci al caso in cui la funzione sia definita su un intervallo limitato (a,b) (il caso non limitato lo ottieni per sigma-finitezza di R rispetto alla misura di Lebesque). Se f è una funzione reale crescente su un intervallo (a,b), allora vale che:
1) f ha al più una quantità numerabile di punti di discontinuità ed essi sono tutti di tipo “salto” (ovvero esistono finiti sia il limite destro che quello sinistro)
2) f è una funzione misurabile secondo Lebesque
3) esiste un insieme A di misura L-nulla (L misura di Lebesque su R) con A incluso in (a,b) tale che per ogni x in (a,b), se x NON appartiene ad A, allora f è derivabile in x in senso classico, ovvero esistono finite e sono uguali le 4 derivate del Dini in x (e le denoto con f’(x)). Inoltre se (c,d) è un intervallo tale che [c,d] è incluso in (a,b), allora detta F’ la classe di equivalenza di f’ in L^1([c,d]), si ha che l’integrale di F’ (su (c,d)) è minore o uguale a f(d)-f(c).
(1 e 2 sono banali, puoi provare a farli come esercizio, 3 invece discende da teoremi di densità sulle misure assolutamente non banali).
Da questo e dal fatto che su ogni intervallo (c,d) come in 3) f è limitata, si può dedurre che f ammette derivata in misura (non necessariamente positiva a priori) su (a.b). Chiamiamo m tale misura. m è sigma-finita per cui, per il teorema della decomposizione di Han, e per il teorema di Radon-Nikodym m=m1+m2 con m1,m2 misure sigma-finite e con m1 assolutamente continua rispetto ad L e m2 singolare rispetto ad L. Usando i “soliti” teoremi della teoria della misura, si dimostra facilmente che m1=F’.L dove F’ (con abuso di notazione) è la classe si equivalenza di f’ in L^1((a,b)), mentre m2 è somma di una quantità (al più numerabile) di multipli di misure di dirac che chiamo Dx_i. Cercherò di spiegare cosa tutto ciò vuol dire: m2 è legata al fatto che la funzione f può avere discontinuità di tipo “salto”, e le misure Dx_i sono misure concentrate proprio nei punti in cui si hanno le discontinuità (il coefficiente che appare davanti alle misure è proprio “l’altezza del salto”), che spariscono nel caso in cui f è continua. m1 invece rappresenta la derivata classica. In effetti la parte dell’integrale che manca nella disuguaglianza del punto 3) è proprio quella delle misure Dx_i, che sono atomiche, per cui ciò ci dice subito che la funzione f NON ammette in generale neanche derivate deboli o integrali (mentre quella distribuzionale è proprio il funzionale associato alla misura m). A questo punto, ciò che si verifica “facilmente” (non è difficile, ma bisogna conoscere un minimo di teoria della misura) è che se f è crescente allora la misura m è positiva, e che viceversa se g è una funzione da (a,b) in R (con (a,b) limitato e non vuoto) tale che ammette derivata in misura m con m misura sigma-additiva, sigma-finita e positiva, allora g è crescente. Non c’è (o meglio, se c’è non è nota) invece una caratterizzazione per le funzioni strettamente crescenti in termini di derivate in misura, e ciò è dovuto sostanzialmente al fatto che se una successione di misure M_n converge debolmente ad una misura M e A è un insieme misurabile, allora non è detto che M_n(A) converge ad M(A).
Tutto ciò per dire che in effetti ciò che scrivi, su R (SOLO SU R) può andare bene, visto che se derivata viene “intesa in senso giusto” (ovvero derivata in misura) le cose sono equivalenti, però in genere non si suppone che uno che fa un esame di Analisi Matematica 1 conosca la teoria della misura (peraltro queste iniziano ad essere cose non elementari di suddetta teoria). C’è poi da dire che la definizione di funzione crescente si da in ambiti molto più generali (i.e.: funzioni il cui dominio e condominio sono insiemi con una relazione di ordine parziale), in cui tutto questo discorso perde di significato.
AVVISO: se ti rifanno la stessa domanda un’altra volta ti sconsiglio caldamente di non tirare in ballo le suddette questioni sulle misure, altrimenti rischi di farti “buttare fuori” per la terza volta (a meno che tu non conosca tali argomenti s’intende).
Concludo dicendo quindi che non è così assurdo ciò che ti è successo, in verità anch’io avrei agito nello stesso modo dei tuoi esaminatori, per cui ti invito a ripassarti un po’ meglio la parte teorica per la prossima volta e di mettere da parte quelle strane armi esotiche. Senza dubbio questa sembra la scelta più razionale.
cubem autem in duos cubos aut quadtatoquadratum in duos quadratoquadratos et in generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nomines fas est dividere.
Pierre De Fermat |
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Domle
Fan
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Posted - 10/07/2006 : 17:55:07
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Io adoro Pierre De Fermat
Mi fa piacere la matematica! Ma dove insegni?
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Di lui al saluto con Lene ricordo distintamente anch'io il "Come here!" e il tendere le braccia di Lene.
Domle stava proprio a fianco a me; mi sono sorpreso x un attimo,
perche' Domle e' stato l'unico ad essere stato "riconosciuto", ma come dimenticare l'onnipresente tifoso del TIL?
-----Aker brygge, sarai per sempre la mia neste stopp... ----- |
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Zuzzy
Staff / Moderatore
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Posted - 10/07/2006 : 18:03:14
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quote:
Originally posted by Pierre De Fermat
Devo dire che tutto ciò che avete scritto è sbagliato, o comunque impreciso
ragazzi ma che mi figura mi fate fare!! 
al di là di tutto è un onore avere sul forum lezioni così approfondite di matematica!!! Non ci manca niente |
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koletz
Fan
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Posted - 10/07/2006 : 18:05:53
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Accidenti! 
Ti credo sulla fiducia!
Ho letto tutto, ma sono riuscito a capire a malapena metà!
vota lene |
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Domle
Fan
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Posted - 10/07/2006 : 18:08:20
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quote:
Originally posted by Zuzzy
ragazzi ma che mi figura mi fate fare!!
al di là di tutto è un onore avere sul forum lezioni così approfondite di matematica!!! Non ci manca niente
Va be Zuzzy, non ti devi sentire toccato.... tu ci insegni già tanto in fatto di scamazzo, scippo e donne....
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Di lui al saluto con Lene ricordo distintamente anch'io il "Come here!" e il tendere le braccia di Lene.
Domle stava proprio a fianco a me; mi sono sorpreso x un attimo,
perche' Domle e' stato l'unico ad essere stato "riconosciuto", ma come dimenticare l'onnipresente tifoso del TIL?
-----Aker brygge, sarai per sempre la mia neste stopp... ----- |
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cri
Staff
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Posted - 11/07/2006 : 13:51:57
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Io domani ho l'esame di statistica-..
vedete un po' voi..
sono a dir poco agitata!
*Cri*
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lenefan
Fan
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Posted - 11/07/2006 : 17:01:45
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quote:
Originally posted by cri
Io domani ho l'esame di statistica-..
vedete un po' voi..
sono a dir poco agitata!
Dai Cri..stai tranki!!Se l'ho superato io ci possono riuscire tutti!!! 
In bocca al lupo cmq..
"Ora mi rendo conto che molte di quelle persone hanno vissuto con me per anni, e ora capisco che loro sono qui per me." - Lene Marlin |
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cri
Staff
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Posted - 12/07/2006 : 14:58:03
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quote:
Originally posted by lenefan
quote:
Originally posted by cri
Io domani ho l'esame di statistica-..
vedete un po' voi..
sono a dir poco agitata!
Dai Cri..stai tranki!!Se l'ho superato io ci possono riuscire tutti!!!
In bocca al lupo cmq..
Oggi l'ho fatto...è andato!Non sò ancora come, ma è andato!
L'anno prossimo ho ancora un esame di statistica....ma come farò!??
Va beh...preoccupiamoci degli esami di passo in passo!
Scusate per il leggero OT
*Cri*
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Franko
Fan
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Posted - 12/07/2006 : 15:02:29
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| Scusate se mi intrometto in argomenti che nn posso lontanamente capire, ma Pierre da dove vieni, sei umano? |
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riccardino
Fan
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Posted - 12/07/2006 : 15:04:49
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quote:
Originally posted by Franko
Scusate se mi intrometto in argomenti che nn posso lontanamente capire, ma Pierre da dove vieni, sei umano?
Mitico Franko! Ti assicuro che anche io sono distante anni luce dal capire le spiegazioni di Pierre! |
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cri
Staff
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Posted - 12/07/2006 : 15:17:18
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quote:
Originally posted by riccardino
quote:
Originally posted by Franko
Scusate se mi intrometto in argomenti che nn posso lontanamente capire, ma Pierre da dove vieni, sei umano?
Mitico Franko! Ti assicuro che anche io sono distante anni luce dal capire le spiegazioni di Pierre!
idem...condivido!
*Cri*
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Pierre De Fermat
Fan
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Posted - 13/07/2006 : 08:24:53
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Beh, mi dispiace, non era mia intenzione essere criptico o "illegibile", comunque spero che almeno il diretto interessato (Raidou) abbia capito. Colgo l'occasione per dire: se c'e' qualcosa che non e' chiaro (sulle cose fondamentali) chiedi pure.
cubem autem in duos cubos aut quadtatoquadratum in duos quadratoquadratos et in generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nomines fas est dividere.
Pierre De Fermat |
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cri
Staff
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Posted - 13/07/2006 : 11:06:35
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quote:
Originally posted by Pierre De Fermat
Beh, mi dispiace, non era mia intenzione essere criptico o "illegibile
dispiacere??ma no...figurati!
sono, anzi...siamo, rimasti a bocca aperta per il tuo sapere!
Solo complimenti...
beh dai, mi solleva il fatto che ognuno di noi ha la sua materia forte!
*Cri*
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Topic |
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Per Fermat
